Kinetická složka hmotnosti tělesa resp. fotonu je dána jejich rychlostí pohybu vyvolanou působením vnější síly F. V případě tělesa nezáleží na původu síly – může, ale nemusí to být síla gravitace – a proto gravitace není rozhodující cinitel, který by určoval ekvivalentní hmotnost tělesa. Naproti tomu, pro foton jedinou silou, která může vyvolat změnu rychlosti a kinetickou energii, je působení gravitačního pole.

Relativita hmotnosti tělesa vyplývá ze speciální teorii relativity (STR), kde rychlost světla v gravitace prostém vakuu má zásadní roli. Foton sám je částice světla, a tudíž k vysvětlení relativity jeho hmotnosti je potřebná obecná teorie relativity (OTR).

Fyzikální význam pojmu hmotnost má tři variace:

• Gravitační hmotnost, – pro látkové těleso je to atomární hmotnost. Pro foton je to elektromagnetická hmotnost m_em.
• Relativistická hmotnost, – z pohledu klidové inerciální vztažné soustavy je to hmotnost látkového tělesa pohybujícího konstantní rychlosti. Rychlost světla v tomto vztahu vystupuje jako konstanta. Pro foton relativistická hmotnost nemá fyzikální význam, jelikož foton sám je elementární částice světla.
• Energii ekvivalentní hmotnost, – je to součet atomární hmotnosti tělesa resp. elektromagnetické energie fotonu a ekvivalentu kinetické energie tělesa resp. fotonu.

Odkazy

[1] A. Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Juni 30, 1905, Google.
On the electrodynamics of moving bodies.
[2] A. Einstein: Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?, September 27, 1905, Google.
Does the inertia of a body depend upon its energy-content?
[3] A. Einstein: Teorie relativity, VUT v Brně, nakladatelství VUTIUM, 2005
[4] E=mc² – Wikipedia, Google.
[5] Petr Kulhánek: Červený gravitační posuv a kvantová teorie, Google.
[6] L. Szántó: Maxwellovy rovnice, BEN, Praha 2012, 2. Vydání.
[7] Petr Balling: Základní jednotka délky – metr, Metrologie, tematická přílohač.4/2011
[8] Alexander Kuna: Základní jednotka času – sekunda, Metrogie, tematická příloha č. 4/2011

Kdyby Robert Pound a Glen Rebka měli možnost zaznamenat pohyb fotonu v podobě vlnovky, jak to ilustruje Obr. 2, museli by konstatovat, že pokud zdroj fotonu byl umístěn v přízemí, pak načítání určitého počtu vrcholků vlnovky trvalo déle u detektoru ve vyšším patře než v přízemí u zdroje. Dá se to nazvat dilatace času fotonu (zpomalení plynutí času) vlivem gravitačního pole. V případě že zdroj je umístěn ve vyšším patře, pak v přízemí se pozoruje modrý posuv a je to kontrakce času fotonu vlivem gravitačního pole. Pro „klidového“ pozorovatele na Zemi dilatace času fotonu nastane tehdy, když foton směruje k slabší gravitační síle. Při opačném směrování nastane kontrakce času fotonu.

Černá díra je kosmické těleso, které má tak velikou hmotnost, že jeho gravitační síla ani světlu (fotonu) nedovolí uniknout a dosáhnout k Zemi. Proto je toto kosmické těleso pro nás černé – neviditelné. Černou díru lze zkoumat jedině pomocí obecné teorie relativity, která je však výsadou mála špičkových teoretiků. Pokud si chce hloubavý laik vytvořit představu o černé díře, musí se spolehnout na animaci a svou fantazii. V dobré víře předpokládáme, že pravidla animace použité k tvorbě Obr. 1a se dají aplikovat i pro černou díru, jen s tím rozdílem, že černá díra má podstatně větší hmotnost než Slunce.

Výsledek animace pohybu fotonu v černé díře je ukázán na Obr. 3. Zelený mužíček, podobný tomu marťanskému, odkudsi v gravitačním poli, vysílá ze svého zdroje fotony ve snaze informovat lidi na Zemi o černé díře. Jenže gravitační pole černé díry nikomu, ani fotonu, nedovolí překročit hranici označenou jako Horizont. Je to pomyslná sférická plocha kolem černé díry. Každý foton se od Horizontu vrací zpět po spirálovité dráze stále blíž k černé díře, až do ní zapadne a jeho energie E_f přispěje k zvětšení hmotnosti černé díry.

Obr. 3. Pohyb fotonu v gravitačním poli černé díry (cernadira.exe)

Obr. 2. Vliv gravitace Země na kmitočet fotonu(cerveny-posuv.exe)

Jelikož energie fotonu E_f je dána součtem elektromagnetické energie E_em a kinetické energie E_k, ekvivalentní hmotnost fotonu m určíme pomocí zákona ekvivalence E_f = mc₀²:

Obr. 1a. Výsledek animace pohybu fotonu v prostoročase zakřiveném hmotností Slunce (prostorocas.exe)

Podrobnosti numerické integrace, kterou byl Obr. 1a pořízen, ilustruje Obr. 1b, kde gravitační pole Slunce je reprezentováno jednou ekvipotenciálou. V každém časovém úseku Δt se rychlost fotonu skládá z vektorového součtu dvou složek: ze setrvační rychlosti C_s, kterou foton nabyl v předešlém časovém úseku, a z gravitační rychlosti C_g, kterou foton nabude vlivem gravitační síly F v stávajícím časovém úseku.Těmto složkám rychlosti odpovídá posunutí fotonu o ΔS_s resp. ΔS_g. Rychlost C fotonu na konci daného úseku Δt je dána vektorovým součtem C = C_s + C_g, a přírůstek jeho trajektorie je ΔS = ΔS_s + ΔS_g.

Obr.1b K vysvětlení numerické integrace

Gravitační síle podléhá elektromagnetická hmotnost m_em fotonu, která během pohybu je konstantní, a tudíž jí odpovídající energie E_em je také neměnná. Zato však kinetická energie fotonu E_k podléhá změnám v důsledku měnící se rychlosti fotonu. V každém časovém úseku se okamžitá kinetická energie zvýší (sníží) o ΔE_k výměnou za pokles (zvýšení) gravitačního potenciálu ΔW_p. Respektujeme zákon zachování energie, proto platí ΔE_k + ΔW_p = 0. Energie fotonu v gravitačním poli vakua je

Zatímco v gravitace prostém vakuu je kinetická energie konstanta E_k0, v gravitačním poli se kinetická energie fotonu mění, jak to ilustruje průběh na Obr. 1a. Rozdíl kinetických energií E_k – E_k0 lze považovat za korekci Maxwellovy teorie světla vlivem gravitace. Einsteinova rovnice ekvivalentnosti v gravitačním poli zůstává nezměněná E = mc₀²,
kde c₀ = 299 792 458 [m s^–1].

Hvězda na Obr. 1a vysílá fotony všemi směry. Když nestojí v cestě Slunce, foton se může dostat k Zemi po přímé spojnici Hvězda-Země, a astronomové mohou namířit své dalekohledy přímo na Hvězdu odkud světlo přichází. Při zatmění Slunce, foton, kteří zamířil přímo k Zemi, vlivem gravitace Slunce skončí na Slunci. Nicméně, jiný foton nestartuje po přímé spojnici Hvězda-Země a dopadne na Zemi díky tomu, že jeho dráhu ovlivnila přitažlivost Slunce. Tento foton přichází k Zemi z jiného směru (barevná dráha na Obr. 1). Teď astronomové musí svůj dalekohled pootočit o úhel α a Hvězdu vidí ve vesmíru posunutou. Právě tento Einsteinem předpověděný úhel α se shodoval s naměřeným při zatmění Slunce v roce. 1919.. Barevnost dráhy fotonu a sled barev není náhodný – odpovídá to jevu zvanému červený gravitační posuv, kterému věnujeme větší pozornost v dalších odstavcích.

Když se mluví o světle, nerozpitvává se jeho fotonová podstata, ale mluví se jen o světle, jehož přímé paprsky zakřivuje hmotnost Slunce. Na Obr. 1a žlutými liniemi jsou zobrazeny důsledky pohybu fotonu v „zakřiveném prostoročase“. Čím je foton blíže k Slunci, tím větší silou je přitahován, a jeho kinetická energie a rychlost dosahují svého maxima.

Obr. 1c. Viditelné spektrum svetla

Na Obr. 1a se foton od Hvězdy blíží k Zemi z dálav, kde gravitace Slunce je zanedbatelná. Kinetické energii E_k a energii fotonu E_f ať zde odpovídá kmitočet f, dejme tomu červené barvy. Obrazně řečeno, foton je červený. Jak se foton blíží k Slunci, zvyšuje se jeho kinetická energie, a tudíž kmitočet f se posouvá k vyšším frekvencím světelného spektra – směrem k modré barvě. V blízkosti Slunce má foton největší energii a nejvyšší kmitočet f, kterému ať odpovídá zelená barva – foton zezelenal. Vzdalováním se od Slunce kinetická energie klesá, a kmitočet f se posouvá spět k červenému konci světelného spektra – foton zčervenal. Posunutí spektra čar se při zatmění Slunce v roce 1919 nepodařilo prokázat pro jeho nepatrnost. Nicméně Einstein byl natolik přesvědčen o jeho existenci, že mohl napsat ([3], str. 178): „Kdyby posunutí červeného spektra čar vlivem gravitačního potenciálu neexistovalo, byla by obecná teorie relativity neudržitelná“.

• V gravitace prostém vakuu energie fotonu je E_f = h.f, kde h je Planckova konstanta a f je kmitočet světla.
• V gravitace prostém vakuu se foton pohybuje rychlostí světla c₀.

Jelikož je foton kvantum elektromagnetického pole, má také elektromagnetickou energii E_em a hmotnost m_em, které jsou vyjádřeny pojmy elektromagnetického pole [6, str. 91]. Podle Einsteinovy rovnice je hmotnost m_em = E_emc₀^–2, která se podle druhého postulátu pohybuje rychlostí c₀, a má tudíž kinetickou energii E_k0. Energie fotonu v prvním postulátu má tak dvě složky – elektromagnetickou a kinetickou:

Elektromagnetickou hmotnost m_em lze přirovnat k jaderné energii látkového tělesa m₀ v klidu.

K vysvětlení záporného výsledku M-M experimentu navrhl Einstein v roce 1905 radikálně novou Speciální teorii relativity (STR), která nepotřebuje pevný bod ve vesmíru (éter). STR je postavena na dvou postulátech:

• Postulát A Mechanické a elektromagnetické děje probíhají stejně ve šech inerciálních soustavách (pohybujících se rovnoměrně přímočaře bez rotace). Jinými slovy, všechny fyzikální zákony lze vyjádřit stejnými rovnicemi.
• Postulát B Rychlost světla je ve všech inerciálních soustavách stejná – invariantní.

Z postulátu B lze odvodit dilataci času (zpomalení plynutí času) a kontrakci délek (krácení délek ve směru rychlosti soustavy). Z postulátu A, s ohledem na dilataci času, kontrakci délek a Newtonova zákona síly, vyplývá relativistická hmotnost

kde c₀ je rychlost světla v gravitace prostém vakuu, v – rychlost tělesa vzhledem ke klidové soustavě, a m₀ je hmotnost tělesa v klidu – je to tzv. atomární hmotnost tělesa, která vystupuje také v Newtonových zákonech. Na rozdíl od hmotnosti m v zákoně síly Newtonovy mechaniky, relativistická hmotnost je funkce rychlosti tělesa.Rychlost c₀ jsme označili dolním indexem 0, abychom zdůraznili, že se jedná o rychlost světla v gravitace prostém vakuu, jenž předpokládá speciální teorie relativity, a také Maxwellova teorie světla.

Stěžejní články [1], [2] Einstein napsal v roce 1905. V prvním z nich je uvedena speciální teorie relativity. Druhý článek vyšel o tři měsíce později a osahuje odvození slavné Einstejnovy rovnice E = mc₀², která vyjadřuje ekvivalenci hmotnosti a energie.

Uvedeme odvození rovnici ekvivalence hmotnosti a energie podle [4], abychom ji zbavili její „tajuplnosti“ a pronikli do významu její pravé strany. Vyjdeme ze vztahu pro kinetickou energii tělesa s klidovou hmotností m₀, které se dalo do pohybu vlivem působení síly F. Těleso se nachází v pohybu, proto musíme počítat s jeho relativistickou hmotností m a jeho hybností mv v Newtonovým zákoně síly.

Poslední rovnice je Einsteinova rovnice E=E₀+E_k=mc₀². Celková energie E je součet kinetické energie E_k a klidové energie E₀ =m₀c₀².

Jednotlivé veličiny v Einsteinovy rovnici E = mc₀² nyní formulujeme v hovorové řeči:

• E – je celková energie tělesa v dané konkrétní situaci (rychlost, teplota – horká voda má víc energie než studená).
• c₀² – je převodní koeficient mezi energii a hmotnosti, podobně jako je finanční kurz převodem mezi korunou a dolarem. Stojí za zmínku, že c₀ je rychlost světla v gravitace prostém vakuu, jejíž velikost je dána zafixováním číselné hodnoty 299 792 458 [m s^–1] přesně. Zafixovaná je také tím, že je uvedena v Zákoně o metrologii č. 505 z roku 1983 [7].
• m – součet jaderné hmotnosti m₀ a „přídavní hmotnosti“, která vznikne z „přídavné energie“ (kinetické, tepelné) přepočítané koeficientem c₀². Poznámka: Mluvili jsme již o gravitační hmotnosti, pak o relativistické hmotnosti, a v souvislosti s rovnici E = mc₀² můžeme mluvit o energii ekvivalentní hmotnosti.

Položme nyní naši atomovou bombu na stůl, kde leží v klidu. Její klidová energie je nadále E₀ = m₀c₀², ale navíc získala i gravitační potenciál ΔW_p= h*m*, kde m* je váha (síla) bomby o hmotnosti m₀, a h* je výška stolu nad podlahou. Při pádu bomby ze stolu, gravitační potenciál se postupně mění na kinetickou energii, a pokud máme štěstí, a bomba nevybuchne, její pád na podlahu nadělá škodu jen ve výši odpovídající okamžité kinetické energii E_k = ΔW_p = h*m*. Během pádu a dopadu bomby je její hmotnost stále m₀.

Pokud bomba spadne ze stolu na podlahu a přitom exploduje, pak způsobí katastrofu odpovídající součtu kinetické a klidové energie bomby – tj. celkové energii:

Einsteinovou rovnici E = mc² lze odvodit pomocí STR bez ohledu na existenci Newtonova gravitačního zákona a tudíž bez ohledu na gravitační pole, které může existovat i ve vakuu. Postulát STR o invariantnosti rychlosti světla vyslovil Einstein ve snaze se vyrovnat se ztrátou éteru jakožto nehybném prostoru, jak se o tom zmiňujeme výše v souvislosti s M-M experimentem. „Speciální teorii nikterak nenáleží neomezený obor platnosti; její výsledky platí jen potud, pokud nemusíme přihlížet k vlivům gravitačního pole na jevy (např. na světlo)“ ([3] str. 136). Einsteinova Obecná teorie relativity (OTR) z roku 1916 počítá i s vlivem gravitačního pole.